Математика. Словарь

математическое выражение основных законов сохранения массы, импульса, энергии газа, описывающих состояние газа. Газ есть совокупность большого числа частиц (молекул, атомов, ионов), находящихся в непрерывном хаотич. движении. Учет взаимодействия…

методы решения задач газовой динамики на основе вычислительных алгоритмов. Рассмотрим основные аспекты теории численных методов решения задач газовой динамики, записав газовой динамики уравнения в виде законов сохранения в инерциальной…

раздел газовой динамики, в котором исследуются течения газа в предположении, что газ частично обтекает встречаемое на пути своего распространения препятствие и стекает с него, образуя за препятствием застойную область. Решение задач о струйном…

метод моментов, метод нахождения приближенного решения операторного уравнения в виде линейной комбинации элементов заданной линейно независимой системы. Пусть F(х) нелинейный оператор, область определения которого лежит в банаховом пространстве X,…

система координат в псевдоевклидовом пространстве, в которой линейный элемент имеет вид: где . Галилеева система координаты аналогична декартовой системе координат в евклидовом пространстве. Происхождение названия связано с приложениями системы отсчета Галилея (см.…

пространство время классической механики Галилея Ньютона, в котором за расстояние между двумя событиями, происходящими в точках M1 и M2 в моменты времени принимается временной интервал а в том случае, когда эти события происходят одновременно,…

преобразование, определяющее в классической механике переход от одной инерциальной системы отсчета к другой, движущейся относительно первой прямолинейно и равномерно. При этом система отсчета понимается как четырехмерная, позволяющая фиксировать три…

основной принцип классической механики, утверждающий инвариантность законов механич. движения относительно замены одних инерциальных систем другими. Существование инерциальных систем отсчета постулируется. Галилея принцип относительность был подготовлен в результате…

плоская кривая, уравнение которой в полярных координатах имеет вид: Галилея спирали симметрична относительно полярной оси (см. рис.) и имеет двойную точку в полюсе с касательными, образующими с полярной осью углы, равные На полярной оси у Галилея спирали бесконечно…

группа автоморфизмов Галуа расширения L поля k, то есть группа, состоящая из всех автоморфизмов поля L, оставляющих все элементы подполя k неподвижными. Галуа группа обозначается или . Поле инвариантов совпадает с полем k. Если L поле разложения…

группа всех автоморфизмов дифференциального поля Р, перестановочных с дифференцированиями и оставляющих на месте все элементы некоторого фиксированного дифференциального подполя Р поля Р. л. А. Скорняков

когомологии Галуа группы. Если М абелева группа и группа Галуа расширения , действующая на М, то когомологии Галуа есть группы когомологии определяемые комплексом состоит из всех отображений , a d кограничный оператор (см. Когомологии групп).…

конечное поле, поле, число элементов которого конечно. Галуа поле впервые рассматривалось Э. Галуа (Е. Galois, см. [1], с. 35 47). Число элементов любого Галуа поле есть степень некоторого натурального простого числа , являющегося характеристикой этого поля.…

поля нормальное и се парабельное расширение поля. Изучение группы автоморфизмов таких расширений относится к Галуа теории

между частично упорядоченными множествам и Ми М пара отображений и удовлетворяющих следующим условиям: Понятие Галуа соответствия тесно связано с понятием замыкания в частично упорядоченном множестве, а именно, если между установлено Галуа соответствие, то равенства…

задача построения конечного нормального расширения для данного поля k с заданной Галуа группой (см. Галуа теория), а также выяснения условий, обеспечивающих существование или отсутствие такого расширения над полем k. Если k есть поле рациональных…

в наиболее общем смысле теория, изучающая те или иные математические объекты на основе их групп автоморфизмов. Так, например, возможны Галуа теория полей, колец, топологических пространств и тому подобное В более узком смысле под Галуа теорией понимается Галуа теория полей. Возникла эта

обобщение результатов теории Галуа полей на случай ассоциативных колец с единицей. Пусть А ассоциативное кольцо с единицей, Н некоторая подгруппа группы всех автоморфизмов кольца А, N подгруппа группы Н, . Тогда подкольцо кольца А. Пусть…

группа Галуа, снабженная топологией Крулля; базис фильтра этой топологии состоит из нормальных делителей конечного индекса. Если конечное расширение Галуа, то топология его группы Галуа дискретна. Если поле L объединение конечных расширений Галуа

ветвящийся процесс с одним типом частиц и с дискретным временем; назван по имени Ф. Гальтона (F. Gallon) и Дж. Ватсона (G. Watson), впервые занимавшихся в 1873 задачей о вырождении фамилии. Б. А. Севастьянов

набла оператор, С оператор, гамильтониан, символический дифференциальный оператор 1 го порядка, применяемый для записи основных дифференциальных операций векторного анализа. В декартовой прямоугольной системе координат с ортами Гамильтона оператора имеет вид:…

канонические обыкновенные дифференциальные уравнения 1 го порядка, описывающие движения голономных механич. систем под действием приложенных к ним сил, а также экстремали задач классического вариационного исчисления. Гамильтона уравнение, установленные У.…

гамильтониан, функция, введенная У. Гамильтоном (W. Hamilton, 1834) для описания движений механических систем; начиная с работ К. Якоби (К. Jacobi, 1837), используется в классическом вариационном исчислении для представления Эйлера уравнений в…

стационарного действия принцип, общий интегральный вариационный принцип классической механики, установленный У. Гамильтоном [1] для голономных систем, стесненных идеальными стационарными связями, и обобщенный М. В. Остроградским [2] на…

раздел классического вариационного исчисления и аналитической механики, в котором задача нахождения экстремалей (или задача интегрирования гамильтоновой системы уравнений) сводится к интегрированию некоторого уравнения с частными производными 1 го…

см. Гамильтона функций, Гамилътона оператор

неабелева группа, все подгруппы которой инвариантны. Группы с таким свойством исследовались Р

система обыкновенных дифференциальных уравнений для 2га неизвестных ( обобщенные импульсы ) и ( обобщенные координаты ), имеющая вид: где Н некоторая функция от называется Гамильтона функцией, или гамильтонианом, системы (1). Гамильтонов система называется также…

система вида где Н квадратичная форма с действительными коэффициентами от переменных с коэффициентами, которые могут зависеть от времени t. Гамильтонов система линейная называется также линейной канонической системой. Система (1) может быть записана в векторной форме: где х

двумерное распределение неотрицательных случайных зависимых величин задаваемое плотностью Лагерра многочлены, ортонормированные на положительной полуоси с весом произвольная функция распределения на отрезке [0, 1]. Коэффициент корреляции между

непрерывное сосредоточенное на положительной полуоси распределение вероятностей с плотностью где параметр, принимающий положительные значения, и гамма функция Эйлера Соответствующая функция распределения при равна нулю, а при выражается формулой

Г функция, трансцендентная функция , распространяющая значения факториала на случай любого комплексного Г. ф. введена Л. Эйлером [(L. Euler), 1729, письмо к X. Гольдбаху (Ch. Goldbach)] при помощи бесконечного произведения иа которого Л. Эйлер…

нелинейное интегральное уравнение вида где и заданные функции, а искомая функция. Названо по имени А. Гаммерштейна [1], рассмотревшего случай, когда есть фред гольмово симметричное и положительное ядро, то есть все его собственные значения…

Ханкеля функции, цилиндрические функции3 го рода. Ганкеля Функции, могут быть следующим образом определены через Бесселя функции: (р — нецелое). Отсюда вытекают важные соотношения ганкеля Функции, комплексны при действительных значениях z; однако действительны, если z…

поток, траектории которого после некоторой замены времени становятся почти периодическими. Обычно при этом еще требуют, чтобы каждая траектория была всюду плотна в фазовом пространстве (так что можно говорить о гармонизуемом минимальном множестве). Д

комплекснозначная случайная функция действительного параметра t, допускающая представление в виде стохастического интеграла где случайный процесс. Приращения в задают случайные амплитуду и фазу элементарных колебаний вида частоты

От греческого 𝛼𝜌𝜇𝜊𝜈𝜄𝜒𝜊𝜁; латинское harmonia – соразмерность, связь. Обратимся к функции 𝑓 (𝑥 ), представленной в виде тригонометрического ряда Фурье ∞ ∞ 𝑎0 𝑘𝜋𝑥 𝑘𝜋𝑥 𝑎0 𝑓 (𝑥 ) = + ∑ (𝑎𝑘 cos + 𝑏𝑘 sin )= + ∑ 𝐴𝑘 sin(𝜔𝑘 𝑥 + 𝜑𝑘 ) . 2 𝑙 𝑙 2 𝑘=1 𝑘=1 Каждое слагаемое этого ряда называется гармоникой. Разложение функции в ряд Фурье с последующим анализом характера каждой гармоники называется в математике гармоническим анализом.

термин, иногда применяемый для обозначения емкости множества в евклидовом пространстве , получаемой методом классической потенциала теории при помощи ньютонова потенциала при или логарифмического потенциала при , в отличие от аналитической…

наименьшая гармоническая мажоранта семейства нижняя огибающая семейства всех супергармонич. мажорант vk , семейства субгармонич. функций на открытом множестве D евклидова пространства то есть Гармоническая мажоранта либо является гармонической функцией, либо В случае…

понятие теории гармонических функций, возникшее в связи с проблемами оценки модуля аналитических функции внутри области, когда известны те или иные оценки модуля на границе области (см. [1], [2]). Пусть D ограниченное открытое множество евклидова…

внешняя дифференциальная форма на римановом многообразии М, удовлетворяющая уравнению , где Лапласа оператор, соответствующий римановой метрике на М, а оператор, сопряженный к внешнему дифференциалу d. Если имеет компактный носитель, то…

точек четверка точек на прямой, обладающая тем свойством, что ее двойное отношение равно 1. Если (ABCD) гармоническая четвёрка, то говорят, что пара точек АВ гармонически разделяет пару CD пли что точки А и В гармони чески сопряжены с точками С и D;пары АВ и CD…

название раздела математики и математического метода. В гармонический анализ как раздел математики обычно включают: теорию тригонометрических рядов (одномерных и многомерных), Фурье преобразований (функций одного и нескольких переменных), почти периодических функций

теория абстрактных Фурье рядов и Фурье интегралов. Классический гармонический анализ теория рядов Фурье и интегралов Фурье интенсивно развивался под влиянием физических задач в 18 19 вв., и в работах П. Дирихле (P. Dirichlet), Б. Римана (В. Riemann), А.…

приближенный метод исследования нелинейных колебательных систем, описываемых нелийейными обыкновенными дифференциальными уравнениями. Суть гармонического Баланса Метод состоит в замене в колебательных системах нелинейных сил специальным образом построенными…

синусоидальное колебание, периодическое изменение во времени физической величины, записываемое аналитически в виде где значение колеблющейся величины в момент времени амплитуда, циклическая (круговая) частота, начальная фаза колебаний.…

топология, пространство X с пучком непрерывных действительных функций с аксиоматически фиксируемыми в той или иной форме тремя основными свойствами классических гармонических функций:свойство сходимости, выражаемое второй Гарнака теоремой;принцип

при отображениях, осуществляемых однозначными аналитическими функциями, гармоническая мера не убывает. Если гармоническая мера граничного множества относительно области D на плоскости комплексного переменного z, то одна из конкретных формулировок гармонической Меры Принцип…

Пифагор с раннего детства любил музыку, хорошо пел и играл на кифаре (старинный струнный инструмент), поэтому в музыке Пифагор услышал подтверждение своему знаменитому утверждению: "Всё есть число". Он обнаружил, что приятные для слуха созвучия (консонансы) возникают, если длины 4-х струн соотносятся так же, как первые четыре натуральных числа: 1: 2; 2: 3; 3: 4. Пифагор заметил, что с уменьшением отношения 𝑛: (𝑛 + 1), где 𝑛 = 1,2,3,4,… созвучие струн становится более приятным. Это удивительное открытие навело Пифагора на мысль о существовании числовых закономерностей в природе. Слово консонанс связано с латинским consonantia –созвучие, устойчивость, гармония.…

обобщение несобственного интеграла Римана на класс функций f, множество точек неограниченности которых имеет нулевую жорданову меру и которые интегрируемы по Риману во всяком сегменте, не содержащем точек из . Пусть конечная система интервалов,…

(двойное) неравенство, оценивающее сверху и снизу отношение двух значений положительной гармонических функции; получено А. Гарнаком (Харнаком) [1]. Пусть гармоническая в области Gn мерного евклидова пространства функция, шар радиуса гс центром в…

1) Первая гарнак теорема: если последовательность функций, гармонических в ограниченной области G и непрерывных на равномерно сходится на границе , то она равномерно сходится на G к гармонических функции. Первая гарнак теорема имеет следующее обобщение для решений…

полукруговая область, с плоскостью симметрии область в пространстве пкомплексных переменных, которая вместе с каждой точкой содержит окружность Названа по имени Ф. Гартогса (Хартогса, F. Hartogs). Гартогс область называется полной, если вместе с каждой точкой она…

Хартогса теорема, 1) Основная (главная, или фундаментальная) гартогс теорема: если функция определенная в области , в любой точке голоморфна по каждому переменному (при фиксированных ), то f голоморфна в D по совокупности переменных. Имеется много обобщений

ряд где функции, голоморфные в некоторой не зависящей от k области Если для всех , то ряд (*) называется рядом Гартогса. Всякая функция, голоморфная в Гартогса области D вида разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся внутри D Г. Л. р. В полных…

отображения f(x). линейного пространства X в линейное топологического пространство Y предел в топологии пространства Y: в предположении, что он существует для всех Именно так ввел первую вариацию Р. Гато (R. Gateaux) в 1913 14. Для функционалов…

функционала в точке гильбертова пространства H вектор из H, равный Гато производной функционала f в точке . Иначе говоря, гато градиент определяется формулой где при . В га мерном евклидовом пространстве гато Градиент есть вектор с координатами

отображения линейного тонологич. пространства X в линейное топологическое пространство У функция где предел в предположении, что он существует для всех , а сходимость понимается в топологии пространства Y. Так определенный гато дифференциал однороден, но…

слабая производная, наиболее распространенная в бесконечномерном анализе, наряду с Фреше производной (сильной производной), производная функционала или отображения. Производной Гато в точке х 0 тображения линейного топологического пространства X в…

вариационная задача, исследованная впервые К. Гауссом [1] и в современных терминах формулируемая следующим образом. Пусть положительная мера в евклидовом пространстве , имеющая конечную энергию (см. Энергия мер), и пусть ньютонов потенциал меры

употребительное название нормального распределения. Название связано с той ролью, которую это распределение играет в ошибок теории К. Гаусса. Плотности (именно они первоначально назывались Гаусса закон) появились у К. Гаусса в сочинении Теория движения…

соотношение, связывающее значения Лежандра символов для различных нечетных простых чисел р и q(см. Квадратичный закон взаимности). Кроме основного гаусса Закон Взаимности для квадратичных вычетов, заключающегося в соотношении: имеются еще два дополнения к…

формула, использующая в качестве узлов интерполяции ближайшие к точке интерполирования хузлы. Если то формула написанная по узлам называется формулой Гаусса для интерполирования вперед, а формула написанная по узлам называется формулой Гаусса для…

квадратурная формула вида в которой узлы xi и веса с; подбираются так, чтобы формула была точна для функций где заданные линейно независимые функции (пределы интегрирования могут быть и бесконечными). Гаусса квадратурная формула введены К. Гауссом (см. [1]) для…

метод последовательного исключения неизвестных для нахождения решений системы линейных уравнений, впервые описанный К. Гауссом [1]. Пусть дана система где элементы произвольного поля Р. Без ограничения общности можно считать, что . Гаусса метод состоит…

линейное функциональное преобразование [х]функции , которое определяется интегралом: Если для действительных значений оператор является самосопряженным положительно определенным оператором [1]. Формула обращения для Гаусса преобразования: При Гаусса преобразования называется прео

признак сходимости числовых рядов с положительными членами. Если отношение представило в виде где и постоянные числа, ограниченная последовательность, то ряд сходится при

наименьшего принуждения принцип, один из основных, наиболее общих дифференциальных вариационных принципов классической механики, установленный К. Гауссом (см. [1]) и выражающий экстремальное свойство действительного движения системы из класса…

топологической группы С представление всюду плотного подмножества в виде где Н абелева подгруппа группы нильпотентные подгруппы группы G, нормализуемые Н. Если G группа невырожденных вещественных матриц m го порядка, Н подгруппа диагональных…

тригонометрическая сумма вида где числовой характер по модулю д. Гаусса сумма вполне определяется заданием характера и числа а. Гаусса сумма были рассмотрены К. Гауссом (С. Gauss) в 1811 в случае простого нечетного q=р и характера , где Лежандра символ. В этом

(theorema egregium): гауссова кривизна (произведение главных кривизн) регулярной поверхности в евклидовом пространстве не меняется при изгибаниях поверхности. (Здесь регулярность означает гладкое погружение.) Гаусса теоремы следует из того, что гауссова…

полная кривизна двумерного компактного риманова многообразия , замкнутого или с краем, и поворот его гладкого края (границы) связаны с эйлеровой характеристикой многообразия соотношением здесь где К

одно из названий нормального распределения, которое наряду с другими названиями (Гаусса закон, гауссовское распределение, второй закон Лапласа, Лапласа Гаусса распределение и так далее) связывает историю открытия и первых приложений распределения к…

полная кривизна, поверхности произведение главных кривизн регулярной поверхности в данной точке. Если первая квадратичная форма поверхности и вторая квадратичная форма поверхности, то гауссов кривизна вычисляется по формуле гауссова Кривизна совпадает с якобианом…

коммутативная полугруппа с единицей, удовлетворяющая закону сокращения, в которой любой необратимый элемент аразложим в произведение неприводимых (то есть не представимых в виде произведения необратимых сомножителей) элементов, причем для любых двух…

целое комплексное число а+bi, где аи b любые целые рациональные числа. С геометрической точки зрения гауссова числа образуют на плоскости решетку всех точек с целыми рациональными координатами. Гауссово число впервые были рассмотрены К. Гауссом (С. Gauss) в 1832 в…

действительный случайный процесс любые конечномерные распределения которого являются гауссовскими, то есть характеристич. функции совместных распределений вероятностей случайных величин при любых имеют вид: где математическое ожидание и корреляционная…

интегральное преобразование T{F(t)} функции F(t): где многочлены Гегенбауэра. Если функция разлагается в обобщенный ряд Фурье по многочленам Гегенбауэра, то имеет место формула обращения гегенвауэра Преобразование сводит дифференциальную операцию к алгебраической

интуиционистской арифметики специальная операция, переводящая формулы интуиционистской арифметики в формулы вида где наборы переменных по вычислимым функциям специального вида. При этом выводимые формулы переводятся в истинные формулы в смысле…

общее название двух теорем, установленных К. Гёделем [1]. Первая Г. т. о н. утверждает, что в любой непротиворечивой формальной системе, содержащей минимум арифметики ( знаки и обычные правила обращения с ними), найдется формально неразрешимое…

утверждение о полноте классического исчисления предикатов: всякая предикатная формула, истинная на всех моделях, выводима (по формальным правилам классического исчисления предикатов). Г. т. о п. показывает, что множество выводимых формул этого…

одно из основных возможных (наряду с Шрёдингера представлением и взаимодействия представлением).эквивалентных представлений зависимости от времени t операторов Ан волновых функций в квантовой механике и квантовой теории поля. В гейзенверг представление операторы…

об открытом покрытии см. Бореля Лебега теорема

Гейтипга исчисление, название трех формальных систем конструктивной логики, предложенных А. Рейтингом [1]. Первая из них гейтинговское, или интуиционистское, исчисление высказываний формализация принципов конструктивной логики высказываний;…

винтовая поверхность, описываемая прямой, которая вращается с постоянной угловой скоростью вокруг неподвижной оси, пересекает ось движения под постоянным углом и одновременно перемещается поступательно с постоянной скоростью вдоль этой оси. При Г.…

краевая задача для уравнения типа Чаплыгина вида в котором функция возрастает, при . Искомая функция задается на границе, состоящей из достаточно гладкого контура и кусков характеристик. Рассматриваемое уравнение эллиптично в полуплоскости ,…

совокупность методов суммирования числовых рядов; введены О. Гёльдером [1] как обобщение средних арифметических метода суммирования. Ряд суммируется методом Гёльдера ( Н, k) к сумме s, если где В частности, суммируемость ряда означает его обычную

1) гёльдёр неравенство для сумм. Пусть некоторые множества комплексных чисел, , где S конечное или бесконечное множество индексов. Справедливо гёльдёр неравенство где причем равенство достигается тогда и только тогда, когда , а и Сне зависят от . При гёльдёра неравенства для сумм называется Коши…

неравенство, в котором приращение функции оценивается через приращение ее аргумента. Функция , определенная в области Е n мерного евклидова пространства, удовлетворяет в точке гёльдёра условия с показателем (порядка ), где , и коэффициентом (у), если для всех

банахово пространство ограниченных и непрерывных функций , определенных на множестве Е n мерного евклидова пространства и удовлетворяющих на Е Гёльдера условию. Гёльдерово пространство целое, состоит из траз непрерывно дифференцируемых на Ефункций (непрерывных при

уравнение с частными производными вида где с постоянное число. К Гельмгольца уравнение приводит изучение установившихся колебательных процессов. При Гельмгольца уравнения переходит в Лапласа уравнение. В случае, если в правой части Гельмгольца уравнения стоит функция , это уравнение наз.…

отображение, сопоставляющее элементу акоммутативной банаховой алгебры Афункцию на пространстве X максимальных идеалов алгебры А. Существует взаимно однозначное соответствие между точками пространства X и гомоморфизмами алгебры Ав поле комплексных…

понятие теории статистического выборочного метода. В матоматич. статистике генеральной совокупности паз. множество к. л. однородных элементов, из которого но определенному правилу выделяется некоторое подмножество, называется выборкой Например, при статистическом контроле…

коммутативное локальное кольцо, для которого выполняется Гензеля лемма, или, в другом определении, для которого выполняется теорема о неявной функции. Для локального кольца А с максимальным идеалом последнее означает, что для любого унитарного…

утверждение, полученное К. Гензелем [1] при создании теории р-адических чисел и нашедшее затем большое применение в коммутативной алгебре. Говорят, что для локального кольца А с максимальным идеалом m выполняется лемма Гензеля, если для любого…

логико математическое исчисление, служащее для формализации и исследования содержательных доказательств, оперирующих с допущениями (гипотезами). Введены Г. Генценом (G. Gentzen, |2]). Генцена формальная система делят на системы естественного вывода (или натуральные,…

задачи, связанные с определением гравитационного поля и фигуры Земли в единой системе координат. Используют декартову прямоугольную систему а также криволинейные ортогональные координаты В, L, H (см. [3]) или связанные с сжатым эллипсоидом…

в точке кривой на поверхности скорость вращения касательной к вокруг нормали к , то есть проекция на вектора угловой скорости вращения касательной при движении вдоль . Предполагается, что и регулярны и ориентированы, с

геодезиче ская, геометрическое понятие, обобщающее понятие прямой (или отрезка прямой) евклидовой геометрии на случай пространств более общего вида. Определения геодезической линии в различных пространствах зависят от того, какая из структур (метрика, линейный

связное множество точек поверхности таких, что для каждой точки хсуществует круг с центром в х, при этом имеет один из следующих видов: 1) ; 2) полукруг круга; 3)

множество точек метризованного двумерного многообразия, удаленных на расстояние r от фиксированной точки О. Частный случай сферы в метрич. пространстве. На регулярной поверхности и вообще в двумерном римановом пространстве геодезической окружности при малых г есть…

сеть, состоящая из двух однопараметрич. семейств геодезических линий

в точке Р пространства аффинной связности с объектом связности любые координаты, при которых в точке Рвсе . Если равенства выполняются во всех точках некоторой кривой, то говорят о геодезические Координаты вдоль кривой (см. Ферми координаты). В римановом пространстве с

поток , фазовым пространством которого служит многообразие касательных векторов к римднову (более общо, к финслерову) многообразию (так называемому конфигурационному многообразию потока), а движение определяется следующим образом. Пусть касательный вектор

фигура, состоящая из трех различных точек и попарно соединяющих их геодезических линий. Точки называется вершинами, геодезические сторонами. Геодезический треугольник может рассматриваться в любом пространстве, где есть геодезические. Если стороны геодезического треугольника, лежащего в…

геометрия метрического пространства (G пространства), которое характеризуется единственностью продолжения геодезических линий, определяемых как локально кратчайшие. G пространство определяется следующей системой аксиом: 1) G есть метрич.…

утверждение, определяющее движение пробной свободной частицы в теории гравитации Эйнштейна (то есть в общей теории относительности). В ньютоновской физике частица называется свободной, если на нее не действуют никакие силы (в том числе н гравитационные)

кривой на поверхности в скорость вращения касательной плоскости к F вокруг касательной к g. Скорость считается относительно длины s дуги при движении точки касания вдоль . Кривая и поверхность F предполагаются регулярными и ориентированными. Геодезическое кручение…

в точке х — подмногообразие гладкого многообразия (риманова или с аффинной связностью) такое, что геодезические линии многообразия , касающиеся в точке т, имеют с касание не ниже 2 го порядка. Это свойство выполнено во всех точках, если любая…

проективное отображение, отображение f, переводящее геодезические линии пространства U в геодезические линии пространства V. Геодезическое отображение где U и V пространства, в которых определены геодезические, локально гомеоморфно (диффеоморфно, если U, V гладкие…

длина кратчайшей геодезической линии, соединяющей две точки (или два множества). В вариационном исчислении геодезического расстояния значение исследуемого функционала на экстремали, соединяющей две рассматриваемые точки. ГЕОКРИОЛОГИИ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ математич

решение некоторых геометрических задач при помощи различных инструментов (линейки, циркуля и др.), которые предполагаются абсолютно точными. В зависимости от выбора инструментов определяется цикл задач, которые могут быть разрешены этими средствами.…

множество симплексов в евклидовом и гильбертовом пространствах, удовлетворяющее некоторым условиям. Конечным геометрическим комплексом называется конечный набор замкнутых симплексов в евклидовом пространстве, причем любые два симплекса либо не имеют…

численный инвариант неособых алгебраических многообразий. В случае алгебраических кривых геометрического рода совпадает с родом кривой. Для алгебраических поверхностей геометрического рода был впервые определен с различных точек зрения А. Клебшем (A. Clebsch) и М. Нётером (М. Noether) во

раздел дифференциальной геометрии, основанный на теории представления групп. Применение метода внешних дифференциальных форм позволяет ввести дифференциальные критерии геометрических Объектов Теория, превращающие ее в эффективный аппарат дифференцпально геометрич.…

локальное кольцо алгебраического многообразия или пополнение такого кольца. Коммутативное кольцо, получаемое из кольца многочленов над полем применением операций пополнения, локализации и факторизации по простому идеалу, называется алгебро геометрическим…

понятие, иногда используемое в геометрии. Обычно под геометрическим местом точками понимают множество точек (образующих кривую или поверхность), выделяемых из всех точек пространства к. л. геометрическим требованием. Например, эллипс может быть определен как геометрическое место точки…

распределение дискретной случайной величины, принимающей целые неотрицательные значения вероятностями , где параметр распределения есть некоторое число из интервала (0, 1). Харак теристич. функция: математическое ожидание: , дисперсия: ; производящая…

вариант единой теории поля, последовательно сводящий все физические объекты, к геометрическим. Построение Г. осуществляется в несколько этапов. На первом этапе строится единая теория гравитации и электромагнетизма на основе общей теории…

математической задачи, возникающие при исследовании тепловых процессов, происходящих в Земле. В геотермике различают поверхностные явления, связанные с колебаниями температуры в верхних слоях Земли вследствие воздействия солнечного излучения, и…

задачи, возникающие при анализе физических явлений, изучаемых в связи с исследованиями строения Земли. В зависимости от природы изучаемых физических явлений различают следующие виды геофизич. исследований: грави разведку, основанную на изучении…

интегральное соотношение, устанавливающее связь между двумя замкнутыми изометричными ориентируемыми регулярными поверхностями. Пусть на поверхностях S1 и S2 введены локальные координаты ии v так, что по их равенству устанавливается отображение…

треугольник, длины сторон и площадь которого выражаются целыми числами. Назван по имени Герона (ок. 1 в. н. э.), рассмотревшего треугольники со сторонами 13, 14, 15 и 5, 12, 13, площади которых соответственно равны 84 и 30. .4. Б. Иванов

формула, выражающая площадь треугольника через его стороны a, b, с: где Названа по имени Герона (ок. 1 в. Н. Э.), А. Б. Иванов

прямейшего пути принцип, наименьшей кривизны принцип, дифференциальный вариационный принцип классической механики, постулированный Г. Герцем [1] в качестве основного закона разработанной им механики, в которой, в отличие от механики Ньютона, вместо

функции f квадратичная форма или где (или ) и задана на n мерном действительном пространстве (или комплексном пространстве ) с координатами (или ). Введен О. Гессе (О. Hesse, 1844)

такая точка ( ), принадлежащая области определения функции Гамильтона гамильтоновой системы что решение системы (*), проходящее через эту точку, при асимптотически приближается к нек рому периодическому решению , а при асимптотически приближается к…

распределение вероятностей обнаружения равновесной статистич. системы в любом из ее стационарных микроскопич. состояний. Последние обычно задаются как чистые квантово механич. состояния, определяемые решением yn стационарного Шрёдингера уравнения

совокупность большого числа одинаковых статпстич. систем, которые характеризуются одними и теми же значениями термодинамич. параметров, но могут находиться в различных микроскопич. состояниях. Это формальное построение позволяет интерпретировать…

особенность поведения частных сумм (или их средних) рядов Фурье. Впервые обнаружена Г. Уилбрейамом [1] и значительно поеже переоткрыта Дж. Гиббсом [2]. Пусть частные суммы ряда Фурье функции f(x) сходятся к в некоторой окрестности точки , в которой В

задачи для систем уравнений, к рыми описываются механич. модели течений жидкости и ее взаимодействия с ограничивающими поверхностями. Для теоретического описания часто встречающихся турбулентных течений применяются модели частного характера (в…

метод описания эволюции системы и ее характерных свойств на основе макроскопич. уравнений гидродинамики. Гидродинамическое приближение соответствует рассмотрению системы типа газа или жидкости как непрерывной среды, когда в уравнениях гидродинамики, описывающих систему

геометрия полного метрич. пространства Нс метрикой ; которое вместе с любыми двумя различными точками хи усодержит точки z и t такие, что и которое гомеоморфно выпуклому множеству n мерного аффинного пространства , причем геодезические отображаются в…

криволинейный интеграл от замкнутой дифференциальной формы, являющейся производной действия функционала вариационного исчисления. Для функционала ищется вектор функция называется полем, так, чтобы интеграл не зависел от пути интегрирования. Если такая…

задача о совместности системы диофантовых уравнений варингова типа: где переменные принимают целые неотрицательные значения, на числа наложены некоторые дополнительные ограничения (см. [3]), s достаточно большое число, зависящее только от заданного

градуированного модуля многочлен, выражающий при больших натуральных празмерности однородных слагаемых модуля как функцию от п. Более точно, справедлива теорема, доказанная по существу Д. Гильбертом. Пусть кольцо многочленов над полем К,…

теорема Гильберта о двойных рядах: где и ряды в правой части имеют конечные положительные суммы, причем константа точная, то есть не может быть уменьшена. Д. Гильберт (D. Hilbert) доказал (*) без точной константы в своих лекциях но интегральным…

функции f несобственный интеграл Если , то функция g существует почти для всех значений х. Если , , тогда функция g также принадлежит и почти всюду имеет место двойственная формула [обращение преобразования (1)]: где константа

не собственный (в смысле главного значения ио Коши) интеграл где периодическая функция называется плотностью гильберта Сингулярный Интеграл, а ядром гильберта Сингулярный Интеграл Если суммируема, то существует почти всюду, а если удовлетворяет условию Липшица с показателем то

евклидовой геометрии система аксиом, предложенная в 1899 Д. Гильбертом (см. [1]). Со времени первой публикации гильберта Система Аксиом Д. Гильберт внес в систему аксиом различные изменения и уточнения. Основными (неопределяемыми) понятиями в гильберте системе аксиомах являются…

конструкция в алгебраической геометрии, позволяющая снабжать множество замкнутых подмногообразий проективного пространства с заданным Гильберта многочленом структурой алгебраического многообразия. Более точно, пусть X проективная схема над локально…

общая теория линейных интегральных уравнений II рода построенная Д. Гильбертом [1] на базе созданной им теории линейных и билинейных форм с бесконечным числом переменных. Основная идея гильберта Теовия Интегральных Уравнений состоит в следующем. Пусть имеется полная…

1) гильберт теория о базисе: если А коммутативное нётерово кольцо и кольцо многочленов от с коэффициентами в А, то и нётерово кольцо. В частности, в кольце многочленов от конечного числа переменных над полем или над кольцом целых чисел любой идеал…

ядро Гильберта сингулярного интеграла, то есть функция Между гильберт ядро и Коши ядром в случае единичной окружности существует простая связь: где Б. В. Хведелидзе

ограниченный линейный интегральный оператор Т, действующий из пространства в и представимый в виде где ядро оператора (см. [1]). Впервые такого рода операторы рассматривались Д. Гильбертом (D. Hilbert) и Э. Шмидтом (Е. Schmidt) в 1907. Г. Ш. и. о

норма линейного оператора Т, действующего из гильбертова пространства Нв гильбертово пространство , имеющая вид , где ортонор мированный базис в H. Г. Ш. н. удовлетворяет всем аксиомам нормы и не зависит от выбора базиса; ее свойства: норма…

оператор А, действующий в гильбертовом пространстве H такой, что для любого ортонормированного базиса в Нвыполнено условие: (достаточно, однако, справедливости этого для некоторого базиса). Г. Ш. о. является компактным оператором, для s чисел к…

функциональный ряд где последовательность всех собственных значений симметричного ядра соответствующая последовательность ортонормированных собственных функций, а есть скалярное произведение произвольной суммируемой с квадратом функции и функции

обобщение проблемы Гольдбаха Эйлера (см. Гольдбаха проблема).о представимости всякого натурального четного числа >2 в виде суммы двух простых. Проблема Гильберта Эйлер а сформулирована Д. Гильбертом (D. Hilbert, см. [1], с. 38) как часть…

алгебра Ас инволюцией над полем комплексных чисел, снабженная невырожденным скалярным произведением (|), причем выполняются следующие аксиомы: 1) для всех для всех 3) для всех отображение пространства Ав Анепрерывно; 4) множество элементов вида

векторное пространство Н над полем комплексных (или действительных) чисел вместе с комплексной (действительной) функцией ( х, у), определенной на и обладающей следующими свойствами. то существует такой элемент , что элемент хназывается пределом…

гильбертово пространство Е над полем комплексных чисел, снабженное непрерывной билинейной (точнее полуторалинейной) формой G, которая, вообще говоря, не является положительно определенной. Форму G часто наз. G метрикой. Наиболее важным частным…

подпространство гильбертова пространства , состоящее из всех точек для которых гильбертов Кирпич является компактом и топологически эквивалентен (гомеоморфен) тихоновскому произведению счетной системы отрезков, то есть тихоновскому кубу гильбертов Кирпич является…

Греческое 𝜐́𝜋𝜀𝜌 – над, сверх. В терминах математики означает превышение.

гиперболическая мера, метрика в области комплексной плоскости, обладающей по крайней мере тремя граничными точками, инвариантная относительно автоморфизмов этой области. Гиперболическая метрика в круге Е : . определяется линейным элементом где…

плоская трансцендентная кривая, уравнение которой в полярных координатах имеет вид: Состоит из двух ветвей, симметричных относительно прямой d(см. рис.). Полюс является асимптотической точкой. Асимптота прямая, параллельная полярной оси и отстоящая от…

1) гиперболическая точка поверхности точка, в которой соприкасающийся параболоид является гиперболическим параболоидом. В гиперболическая точка индикатриса кривизны представляет собой пару сопряженных гипербол. Е

тригонометрия на плоскости Лобачевского (см. Лобачевского геометрия). Пусть длины сторон треугольника на плоскости Лобачевского, а углы этого треугольника. Справедливо следующее основное соотношение (теорема косинусов), связывающее и : Из него…

функции, определяемые формулами: гиперболический синус, гиперболический косинус. Иногда рассматривается также гиперболический тангенс; Другие обозначения: sinh x,Sh x,cosh x, Ch x,tgh x,tanh x,Th x. Графики см. на рис. 1. Основные соотношения

незамкнутая нецентральная поверхность второго порядка. В надлежащей системе координат (см. рис.) уравнение гиперболического параболоида имеет вид: Сечения гиперболического параболоида плоскостями, параллельными плоскостям и , являются параболами, а сечения плоскостями, параллельными…

цилиндрическая поверхность второго порядка, для которой направляющей служит гипербола. Канонич. уравнение гиперболического цилиндра имеет вид: А. Б. Иванов

в данной точке дифференциальное уравнение с частными производными, для которого однозначно разрешима задача Коши при начальных данных, заданных в окрестности точки М на любой нехарактеристич. поверхности. В частности, дифференциальное уравнение с…

гладкой динамической системы {St} компактное подмножество F фазового многообразия М, целиком состоящее из траекторий, в окрестности каждой из которых поведение (по отношению к ней) всех соседних траекторий (включая и те, которые не лежат в…

пусть области D и G лежат соответственно в плоскостях и и имеют каждая не менее чем по три граничные точки, пусть функция, регулярная в D и принимающая значения в G, и пусть и линейные элементы в гиперболической метрике областей D и G в точках…

незамкнутая центральная поверхность второго порядка. Существуют два вида Г.: однополостный Г. идвуполостный Г. В надлежащей системе координат (см. рис.) уравнение однополостного Г. имеет вид: а двуполостного вид: Числа а, b и с(и отрезки такой…

решение гипергеометрического уравнения гипергеометрической функции может быть определена с помощью так называемого ряда Гаусса: где параметры, принимающие любые действительные или комплексные значения, кроме комплексное переменное, . Функция называется гипергеометрической функци

ряд Гаусса, ряд вида гипергеометрического ряда имеет смысл, если g не равно нулю или целому отрицательному числу; он сходится при . Если, кроме того, то гипергеометрический ряд сходится и при z= 1. В этом случае справедлива формула Гаусса где Г (z) гамма функция. Аналитич. функция,…

распределение вероятностей, заданное формулой где М, N и n целые неотрицательные числа и , (здесь биномиальный коэффициент). Гипергеометрическое распределение обычно связано с выбором без возвращения, а именно: формула (*) указывает вероятность получения ровно та отмеченных

уравнение Гаусса, линейное обыкновенное дифференциальное уравнение 2 го порядка или, в самосопряженной форме, Переменные и параметры в общем случае могут принимать любые комплексные значения. После подстановки получается приведенная форма…

набор функторов на категории комплексов, связанный с некоторым функтором F. Именно, пусть ковариантный аддитивный функтор из абелевой категории Ас достаточным числом проективных объектов в абелеву категорию В. Пусть далее К. цепной комплекс со…

обобщение понятия графа. Г. задается множеством V, элементы которого называется вершинами, и семейством подмножеств множества V, называемых ребрами Г.; Г. обозначается Понятие Г. является вариантом давно известных понятий комплекса, блок схемы, а также…

функция w(z).гпперкомплексного переменного z (см. Гиперкомплексное число).над полем действительных чисел, то есть функция на конечномерной ассоциативной алгебре . В более узком смысле под гиперкомплексным переменным функцией понимается функция со значениями в той же алгебре

элемент конечномерной алгебры с единицей над полем действительных чисел (ранее называвшейся гиперкомплексной системой). Исторически гиперкомплексное число возникли как обобщение комплексных чисел. Действия над комплексными числами соответствуют простейшим…

в векторном пространстве Х над полем К образ (при сдвиге) векторного подпространства М, дополнение к к рому одномерно, то есть множество вида при некотором . Г. при иногда называется однородной Подмножество является Г. в том и только в том случае, когда…

1) Обобщение понятия обычной поверхности трехмерного пространства на случай n мерного пространства. Размерность Г. на единицу меньше размерности объемлющего пространства. 2) Если дифференцируемые многообразия, и определено погружение то Г. в N.…

над топологическим пространством X пространство, точками которого являются элементы некоторого семейства. подмножеств пространства X с той или иной топологией. Обычно кольцо множеств, хотя априори это не предполагается. Пример. Г. всех подмножеств…

член верхнего центрального ряда группы G. Первый Г. есть центр группы;если определены все если предельное порядковое число; есть полный прообраз центра факторгруппы если непредельное. Г. группы локально нильпотентны. В. М. Копытов

в геометрии Лобачевского то же, что зквидистанта

неособая проективная модель аффинной кривой где многочлен без кратных корней, нечетной степени n (случай четной степени сводится к случаю нечетной ). Поле функций на гиперэллиптической кривой (поле гиперэллиптич. функций) есть квадратичное расширение поля…

частный случай абелееа интеграла где рациональная функция от переменных связанных алгебраическим уравнением частного вида здесь Р(z) многочлен степени без кратных корней; при получаются эллиптические интегралы, случай иногда называется ультраэ

В древнегреческой математике использовали понятие 𝜐𝜋𝜊𝜃𝜀𝜏𝜄𝜍 , которое имело следующий смысл. Гипотеза – предположение, с помощью которого можно объяснить определённый математический результат. Гипотеза проверяется или отвергается в ходе доказательства.

конгруэнция Г, конгруэнция прямых, у которых фокальные сети образованы линиями кривизны фокальных поверхностей. Одна из поверхностей центров каждой фокальной поверхности несет фокальную сеть из геодезических линий. Сферич. отображение развертывающихся…

нормальная кривизна поверхности в главном направлении, то есть в направлении, где она достигает своего экстремального значения. Главная кривизна являются корнями квадратного уравнения где коэффициенты первой квадратичной формы, a L, М и N второй квадратичной…

нормаль к кривой, проходящая через точку кривой L и лежащая в соприкасающейся плоскости к L в точке М 0. Если па раметрич. уравнение кривой и значение параметра t0 соответствует точке M0, то уравнение главной нормали в векторной форме имеет вид: Е. В. Шикин

отображение ф алгебраической системы, в себя, имеющее вид где F символ основной операции из и фиксированные элементы множества А. Д

однородный дифференциальный оператор, образуемый из данного отбрасыванием всех членов, не содержащих производных максимального порядка. Для дифференциального оператора главная часть есть Иногда главная часть дифференциальный оператор определяется с введением дополнительных…

и постоянными коэффициентами оператор A(D), главная часть которого Р(D).(см. Главная часть дифференциального оператора).удовлетворяет условию: для любого вектора . Другая формулировка условия: всякая действительная характеристическая относительно…

локально тривиальное аналитическое расслоение, на слоях которого просто транзитивно и аналитически действует структурная группа Ли; то есть главное аналитическое расслоение есть четверка аналитические пространства над полем аналитическое отображение, G группа Ли над k,…

направление в точке регулярной поверхности, в котором нормальная кривизна поверхности в этой точке достигает экстремального значения. В каждой точке поверхности может быть либо два главное направление, либо любое направление является главное направление (в уплощения точках и…

главный G объект в категории алгебраических многообразий или схем. Если S схема, а Г схема групп над S, то главный G объект в категории схем над Г называется Главное однородное пространство над S. В случае, когда S спектр поля k и Г алгебраическая k группа, главного однородного пространства над Г есть…

расслоение такое, что группа G действует свободно и совершенно на пространстве X. Значение главного расслоения состоит в том, что оно позволяет строить ассоциированные (с ним) расслоения со слоем F, если задано представление G в группе гомеоморфизмов F.…

фундаментальное решение . определенного во всем пространстве эллиптического уравнения 2 го порядка удовлетворяющее условиям для некоторых положительных постоянных а и R при . Если коэффициенты удовлетворяют в Е n условию Гёльдера и для выполняется

идеал (кольца, алгебры, полугруппы или решетки), порождаемый некоторым одним элементом а, то есть наименьший идеал, содержащий элемент а. Левый главного идеала кольца К, кроме самого элемента а, содержит все элементы вида соответственно, правый главного идеала Л (а)…

длины т — такая конечная последовательность вложенных друг в друга нормальных подгрупп группы G, что ее нельзя включить (без повторения членов) ни в какую другую последовательность с теми же свойствами, то есть максимальная нормальная подгруппа…

полугруппы всякая факторполугруппа Риса (см. Полугруппа )вида , где двусторонний главный идеал данной полугруппы, порожденный элементом х, а где есть класс (см. Грина отношения эквивалентности), содержащий х;если множество не пусто, то оно…

Дирихле, арифметический характер Хо определяемый условием где D любое заданное натуральное число. Через главный характер определяются понятия первообразного и производного характеров (см. Дирихле характер). Н. Г. Чудаков

в топологизированной категории понятие теории категорий, частные случаи которого главное расслоение втопологии, главное однородное пространство в алгебраической геометрии и др. Пусть G групповой объект категории С с произведениями и финальным…

ассоциативное кольцо R с единицей, в котором все левые и правые идеалы являются главными, то есть имеют вид и , соответственно, где . Примеры главных Идеалов Кольцо: кольцо целых чисел, кольцо многочленов над полем F, кольцо косых многочленов над полем F с…

обобщение понятия неособого алгебраического многообразия. Схема X(локально) конечного типа над полем k называется гладкой схемой (над k), если схема, полученная из X с помощью замены поля констант k на его алгебраяч. замыкание k, является регулярной…

функции значение аргумента хфункции f, при котором выполнено условие: Точка дифференцируемости функции является гладкая точка, обратное, вообще говоря, не верно. Если в гладкой точке существует односторонняя производная, то существует и обычная производная. В. Ф.…

Функция, имеющая непрерывную хотя бы первую производную. Порядок гладкости функции равен порядку старшей производной этой функции.

в точке p континуум X такой, что для каждой последовательности точек из X, сходящейся к точке х, и каждого подконтинуума , содержащего точки ри х, существует сходящаяся к Кпоследовательность подконтинуумов в X. Континуум, гладкий в каждой своей…

схем обобщение на случай схем понятия семейства неособых алгебраических многообразий. В классическом случае морфизма комплексных алгебраических многообразий это понятие сводится к понятию регулярного отображения (субмерсии) комплексных многообразий.…

нормированное пространство X, в котором для каждой точки существует единственный функционал такой, что Пространство X гладко тогда и только тогда, когда его норма обладает Гато дифференциалом в каждой точке хс Л. П Власов

модуль непрерывности производной порядка функции , определенной на банаховом пространстве X, то есть выражение где . При т = 1 Г. и. обычный непрерывности модуль функции f(x). Основные свойства гладкости Модуль (для случая пространство непрерывных функций):…

квадратичного дифференциала описание поведения в целом траекторий положительного квадратичного дифференциала на конечной ориентированной римановой поверхности. Пусть R конечная ориентированная риманова поверхность, положительный квадратичный…

поле, являющееся либо конечным расширением поля рациональных функций одной переменной над конечным полем констант, либо конечным расширением поля рациональных чисел. Лит.:[1] Алгебраическая теория чисел, пер. с англ., М., 1969. В. Л. Попов

риманово многообразие М, каждая точка рк рого является изолированной неподвижной точкой некоторой ннволютивной нзометрии Sp многообразия М, то есть есть тождественное преобразование. Пусть G компонента единицы группы изометрий пространства Ми К…

одна из когомологич. характеристик модуля над коммутативным кольцом. Пусть А нётерово кольцо, I его идеал и пусть Месть A модуль конечного типа. Тогда I глубиной модуля М называется наименьшее целое число n, при котором глубина Модуля обозначают , или . Другое…

вектор функции x(t) кривая, представляющая собой множество концов переменного вектора x(t).(t действительная переменная, напр, время), начало которого для всех t есть произвольная фиксированная точка О. Г. дает наглядное геометрическое представление…

преобразование некоторых дифференциальных уравнений математической физики к линейному виду. Бернулли интеграл и уравнение неразрывности плоскопараллельного потенциального установившегося движения баротропного газа где (с скорость звука для ) приводят к

степени рна комплексном многообразии М дифференциальная форма типа , удовлетворяющая условию , то есть форма, которая в локальных координатах на Мзаписывается в виде где голоморфные функции. Голоморфная форма степени робразуют векторное пространство (М)

отображение области в область , при котором где все координатные функции голоморфны в D. При голоморфного отображения совпадает с голоморфной функцией (см. Аналитическая функция). Голоморфное отображение f называется невырожденным в точке , если ранг якобиевой матрицы

область D комплексного пространства , для которой существует функция f(z), голоморфная в D и не продолжаемая голоморфно в большую область; при этом D называется естественной областью определения функции f(z). Например, естественной областью определения функции

(римановой) области D наибольшая область H(D), обладающая тем свойством, что всякая функция, голоморфная в D, голоморфно продолжается в Н(D). Задача построения для данной области D ее голоморфность оболочка возникает в связи с тем, что в комплексном пространстве…

комплексное пространство X, удовлетворяющее следующему условию: для любого компакта множество где А алгебра голоморфных функций на X, компактно. Пространство X голоморфно выпукло тогда и только тогда, когда оно допускает собственное сюръективное…

понятие теории групп, возникшее в связи с решением следующей задачи. Можно ли включить любую данную группу G в качестве нормальной подгруппы в некоторую другую группу так, чтобы все автоморфизмы группы G были следствиями внутренних автоморфизмов этой

одна из характеристик связности в расслоенном пространстве. Голономия группа определяется для главного расслоенного многообразия Р со структурной группой Ли G и базой В(обладающей счетным базисом), в котором задана инфинитезимальная связность Г. Одновременно…

система материальных точек, либо не стесненная никакими связями, либо стесненная только геометрнч. связями, накладывающими ограничения на положения точек системы и могущими быть представленными в форме конечных соотношений вида Здесь t обозначает

если f(z) комплексная суммируемая функция на замкнутой спрямляемой жордановой кривой L, расположенной в плоскости комплексного переменного z, то для существования регулярной во внутренней области D, ограниченной кривой L, функции F(z), угловые…

одна из известных проблем теории чисел; заключается в доказательстве того, что всякое целое число, большее или равное шести, может быть представлено в виде суммы трех простых чисел. Эту проблему выдвинул в 1742 X. Гольдбах (Ch. Goldbach) в письме

задача о поведении числа решений уравнения где простые числа, (см. Варинга проблема, Гольдбаха проблема). В этой проблеме получены (к 1977) примерно те же результаты, что и в проблеме Варинга: разрешимость этого уравнения (то есть неравенство )…

взаимно однозначное соответствие между двумя топологическими пространствами, при котором оба взаимно обратных отображения, определяемые этим соответствием, непрерывны. Эти отображения называется гомеоморфными, или топологическими, отображениями, а также…

группа гомеоморфных отображений топология, пространства X на себя. Если X компактное многообразие, то алгебраических свойства группы , а именно, структура ее нормальных делителей, определяют X с точностью до гомеоморфизма (см. [1]). В частности, при…

такая точка ( ), принадлежащая области определения функции Гамильтона гамильтоновой системы, что решение системы (*), проходящее через эту точку, при асимптотически приближается к нек рому периодическому решению . При этом само решение, проходящее…

(комплекса или топологического пространства) по данной группе коэффициентов система цикловzl, z2,..., zn, удовлетворяющая свойствам: никакая нетривиальная линейная комбинация их не гомологична нулю; всякий цикл гомологичен их некоторой линейной…

топологического пространства группа, которая ставится в соответствие топологическому пространству с целью алгебраического исследования его топологических свойств; это соответствие должно удовлетворять определенным условиям, важнейшими из которых являются…

когомологии динамической системы, один из инвариантов в эргодической теории, построение которого напоминает построение когомологии группы (см. [1]). В простейшем случае одномерных (ко)гомологий каскада, получающегося итерированием автоморфизма…

исходное понятие для различных гомологических конструкций. Пусть А абелева категория и цепной комплекс в категории А, то есть семейство объектов категории Аи таких морфизмов что для всех . Факторобъекты наз. n ми гомологиями комплекса К. и обозначаются

гомологии теория топологического пространства, являющегося полиэдром. Гомология полиэдр возникли в трудах А. Пуанкаре (Н. Poincare, 1895) при изучении многообразий в евклидовых пространствах. Он рассматривал r мерные замкнутые подмногообразия данного многообразия

теория частично точных гомологии (см. Гомологии теория), удовлетворяющая следующей аксиоме о компактных носителях: для каждого элемента h из r мерной группы произвольной пары пространств в теории Нсуществует такая компактная пара , что h содержится

топологических пространств часть алгебраической топологии, осуществляющая связь между топологическими и алгебраическими понятиями: приводя в соответствие каждому пространству определенную последовательность групп, а непрерывному отображению пространств…

раздел алгебры, основным объектом изучения которого являются производные функторы на различных категориях алгебраических объектов (модулей над данным кольцом, пучков и так далее). Одним из истоков гомологической алгебры явилась теория гомологии топологических пространств, в к…

общее название для результатов, описывающих свойства кольца (обычно, ассоциативного и с единицей) по свойствам тех или иных модулей над ним и, в частности, по свойствам категории всех левых (или правых) модулей над этим кольцом (см. Мориты…

бесконечная в обе стороны точная последовательность гомологии трех комплексов, связанных короткой точной последовательностью. Пусть точная последовательность цепных комплексов в абеле вой категории. Тогда для любого попределены морфизмы гомологии

числовая характеристика объекта категории относительно некоторого выделенного класса объектов этой категории. Основная область применения этого понятия категории модулей над кольцом. Пусть фиксированный класс объектов абелевой категории и объект…

операции, определенные на группах То r и Ext. Над коммутативным кольцом Крассматриваются К алгебры R, S и Производные функторы, То r и Ext над ними можно комбинировать между собой посредством четырех гомоморфизмов, называется гомологическими умножениями

функтор на абелевой категории., определяющий некоторую гомологическую конструкцию на этой категории. Система ковариантных аддитивных функторов из абелевой категории в абелеву категорию называется гомологическим функтором, если выполняются следующие аксиомы.…

обобщенное многообразие, локально компактное топологическое пространство, локальная гомологическая структура которого аналогична локальной структуре обычных топологнч. многообразий, в том числе многообразий с краем. Более точно, гомологическим n…

метод, позволяющий характеризовать размерность компакта, лежащего в евклидовом пространстве , в терминах метрич. свойств дополнительного пространства. Назовем мерой существенности цикла z компакта верхнюю грань тех , для которых можно подобрать…

в проективной геометрии автоморфизм проективной плоскости, переводящий все точки некоторой прямой (оси Г.) в себя и имеющий точно одну неподвижную точку (центр Г.). Если центр Г. не лежит на оси Г., то Г. называется неособенной (или гиперболической);…

морфизм в категории алгебраических систем. Г. отображение алгебраической системы , сохраняющее основные операции и основные отношения; точнее, пусть алгебраическая система с основными операциями и основными отношениями , Г. системы в однотипную ей…

свойство корреляции, состоящее в постоянстве условной дисперсии (в противном случае корреляция называется гетероскедастичной); этим свойством обладает, например, нормальная. Корреляция. О. В. Сарманов

обобщение фундаментальной группы, предложенное В. Гуревичем [1] в связи с задачей о классификации непрерывных отображений. Гомотопическая группа определены для любого . При гомотопической группы совпадает с фундаментальной группой. Определение гомотопической группы не конструктивно, и поэтому…

класс гомотопически эквивалентных топологических пространств. Отображения и называются взаимно обратными гомотопическими эквивалентностями, если и Если выполнено только первое из этих соотношений, то g называется гомотопически мономорфным отображением, а f…

гомотопность двух непрерывных отображений формализация интуитивного представления о деформи руемости одного отображения в другое. Точнее, отображения паз. гомотопными (обозначение ), если существует такое семейство непрерывных отображений…

неравенство, имеющее вид: где комплексная функция с компактным (в G).носителем, ограниченная область и интегральная квадратичная форма с непрерывными в комплексными коэффициентами . Достаточным условием с

коммутативное нётерово локальное кольцо, имеющее конечную инъективную размерность (см. Гомологическая размерность). Кольцо Ас максимальным идеалом m и полем вычетов k размерности пявляется горенштейн кольцо тогда и только тогда, когда выполняется одно из…

гладкое распределение на гладком расслоенном пространстве Есо структурной группой Ли G(то есть гладкое поле линейных подпространств в касательных к Епространствах), которое определяет связность в E в том смысле, что все горизонтальные поднятия всех…

эллипс наименьшей площади, получающийся в пересечении однополостного гиперболоида плоскостью, перпендикулярной его оси. Е. В. Шикин

прием для нахождения неполного частного и остатка при делении многочлена на двучлен , где все коэффициенты лежат в некотором поле, например, в поле комплексных чисел. Всякий многочлен единственным способом представим в виде где есть неполное частное,…

тяготение, универсальное свойство притяжения между любыми телами. Изучение Г. положило начало ньютоновской классической механике. Так, Г. Галилей, изучая квазиоднородное поле Г. у поверхности земли, сформулировал закон инерции и установил, что сила,…

Происходит от латинского gradiens – идущий вперёд, растущий. Ирландский учёный В. Гамильтон (1846) ввёл векторный оператор градиент и обозначил его символом ∇, который позже стали называть набла. Такой оператор записывается в виде ∂ ∂ ∂ 𝑔𝑟𝑎𝑑 = ∇= 𝑖̅ + 𝑗̅ + 𝑘̅ . ∂𝑥 ∂𝑦 ∂𝑧 Пусть задано скалярное поле 𝑣 = 𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧); его градиентом является векторное поле ∂𝑓 ∂𝑓 ∂𝑓 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑓 = 𝑖̅ + 𝑗̅ + ̅ 𝑘. ∂𝑥 ∂𝑦 ∂𝑧

поток, задаваемый градиентом гладкой функции f на гладком многообразии. При дифференцировании f непосредственно получается ковариантный вектор (например, в конечномерном случае в координатной окрестности U с локальными координатами это будет вектор с

преобразование в классической и квантовой теории поля, которое изменяет характеристики поля, не являющиеся наблюдаемыми (например, потенциалы поля), и не меняет при этом имеющие физический смысл наблюдаемые величины (например, напряженности поля). Название Г

метод минимизации функций многих переменных. Градиентный метод состоит в том, что последующее приближение функции получается из предыдущего смещением в направлении градиента функции: Параметр может быть определен, например, из условия минимума величины См.…

алгебра А, аддитивная группа которой представлена в виде (слабой) прямой суммы групп причем для любых i, j. Таким образом аддитивная группа 1. а. (рассматриваемая как модуль над кольцом целых чисел) есть положительно градуированный модуль. Примером

модуль А , представленный в виде прямой суммы своих подмодулей АД (индекс ппробегает все целые числа; некоторые из подмодулей могут быть тривиальными). Модуль Аназывается положительно градуированным, если для всех ,иотрицательно градуированным, если для…

квадратная матрица составленная из попарных скалярных произведений элементов (векторов) (пред)гильбертова пространства. Грам матрица всегда неотрицательна. Она положительно определена, если а 1, а 2,..., а k линейно независимы. Справедливо обратное:…

определитель вида где элементы (пред)гильбертова пространства, а их скалярные произведения. Грам определитель равен квадрату n мерного объема параллелотопа, построенного на векторах . Грам определитель является определителем неотрицательной эрмитовой формы откуда и…

ряд, определяемый выражением или где х — нормированное значение случайной величины. Ряд (1) называется Г Ш. р. типа А;здесь есть k я производная от , которую можно представить в виде где многочлены Чеб

формальная общее название нескольких типов исчислений, используемых в математической лингвистике для описания строения естественных языков (а также иек рых искусственных языков, в частности языков программирования). См. Грамматика порождающая,…

грамматика конечно автоматная, грамматика с конечным числом состояний, грамматика бесконтекстная, каждое правило которой имеет вид или где вспомогательные символы, а один из основных символов. (Иногда допускаются также правила вида где пустая…

грамматика контекстно свободная, КС грамматика, грамматика составляющих, все правила которой имеют вид где А вспомогательный символ и непустая цепочка (так называемые бесконтекстные правила). Языки, порождаемые такими грамматиками, называется бесконтекстными…

один и видов формальной грамматики, служащий для порождения цепочек вместе с деревьями подчинения (см. Синтаксическая структура). Формально грамматика доминационная может быть определена как грамматика бесконтекстная, у которой; в каждом правиле, за исключением…

один из видов формальной грамматики. Т. к. может быть определена как упорядоченная четверка где конечные множества, элементы которых называется основными символами и элементарными категориями соответственно; Ф 0 элемент W, называемый главной категорией;…

грамматика бесконтекстная, у которой правая часть каждого правила содержит не более одного вхождения вспомогательного символа. Класс порождаемых такими грамматиками языков (линейных языков) является собственным подклассом класса бесконтекстных…

грамматика Хомского, один из видов формальной грамматики;представляет собой, по существу, частный случай исчисления Поста (см. Поста каноническая система). Систематич. изучение грамматика Порождающая было начато в 50-х гг. 20 в. Н. Хомскнм (N. Chomsky), который…

грамматика непосредственно составляющих, НС грамматика, грамматика контекстная, частный случай грамматики порождающей, когда каждое ее правило имеет вид , где цепочки в алфавите и 0 непуста. Каждый шаг вывода в грамматика Составляющих состоит в замене одного…

один из видов формальной грамматики. Грамматика трансформационная предназначаются для преобразования синтаксических структур, что делает их более адекватными для описания естественного языка, чем формальные грамматики других типов, осуществляющие порождение или…

1) Множество точек подпространства Аданного топологического пространства X, обладающих тем свойством, что любая окрестность каждой из них содержит как точки на А, так и точки из . Общепринятые обозначения: . 2) Синоним понятия край многообразия,…

задачи нахождения аналитической в некоторой области функции по заданному соотношению между граничными значениями ее действительной и мнимой частей. Впервые такая задача была поставлена в 1857 Б. Риманом (см. [1]). Д. Гильберт [2] исследовал…

свойства аналитических функций, проявляющиеся при приближении к границе области определения. Можно считать, что понимаемое в самом широком смысле изучение граничные Свойства Аналитических Функций началось с Сохоцкого теоремы и Пикара теоремы о поведении аналнтич. функций в…

области, простые концы области, элементы области Вкомплексной плоскости, определяемые следующим образом. Пусть В односвязная область расширенной комплексной плоскости, граница области В. Сечением с области Вназывается всякая простая замкнутая в…

метод исследования однолистных функций, основывающийся на рассмотрении вариаций функции , однолистной в области плоскости z, причем вариации функции определяются надлежащими вариациями границы образа этой области. Основная лемма граничных Вариации Метод Пусть D…

множество всех мерных подпространств в n мерном векторном пространстве V над телом k. Если k поле, то с помощью грассмановых координат (см. Внешняя алгебра).вкладывается в мерное проективное пространство над k в виде компактного алгебраич.…

Пусть заданы непустое множество X, состоящее из элементов (точек) и множество отношений T, которое устанавливает соответствие между каждой точкой множества X и некоторым его подмножеством. Непустое множество X и множество отношений T называется графом и обозначается в виде 𝐺 (𝑋, 𝑇). Первая работа по теории графов связана с немецким городом Кенигсбергом, ставшим российским Калининградом после Второй мировой войны. В этом городе есть река Прегель с семью мостами. В XVIII веке появилась следующая задача. Можно ли обойти весь Кенигсберг, проходя при этом по каждому мосту только один раз? Начало прогулки по городу может и не совпадать с её окончанием.…

изоморфное отображение графа на себя (см. Графов изоморфизм). Множество всех автоморфизмов данного графа образует группу относительно операции композиции автоморфизмов. Автоморфизмы графа G порождают группу подстановок вершин Г(G), называется группой…

маршрут, содержащий все вершины или ребра графа и обладающий определенными свойствами. Наиболее известными граф обход являются эйлеровы и гамильтоновы цепи и циклы. Маршрут (замкнутый маршрут) называется эйлеровой

приписывание цветов вершинам и (или) ребрам графа, обладающее определенными свойствами. Правильная вершинная (реберная) раскраска это раскраска вершин (ребер) графа, при которой любые смежные вершины (ребра) окрашены в разные цвета. Правильную…

одна из топологических характеристик графа. Граф называется связным, если для любых его вершин и н v существует цепь, соединяющая эти вершины. Числом вершинной связности графа G [обозначение ] называется наименьшее число вершин, удаление которых (вместе с…

графа вложение, отображение вершин и ребер графа соответственно в точки и непрерывные кривые некоторого пространства такое, что вершины, инцидентные ребру, отображаются в концы кривой, соответствующей этому ребру. Правильной укладкой называется укладка,…

отношение между двумя конструктивными объектами, заключающееся в том, что эти объекты одинаковым образом составлены из одинаковых элементарных знаков. Графическое равенство двух слов означает, что они составлены из одних и тех же букв, одинаково следующих друг…

отношение эквивалентности на множестве графов, характеризующее их геометрия, свойства. Графы гомеоморфизм определяется следуюпшм образом. Подразбиением ребра ( а, b).графа G называется операция, состоящая в добавлении новой вершины v, удалении ребра (а, b).и…

отношение эквивалентности на множестве графов. Изоморфным отображением одного неориентированного графа на другой называется взаимно однозначное отображение вершин и ребер одного графа соответственно на вершиныи ребра другого графа, при котором…

область дискретной математики, особенностью которой является геометрический подход к изучению объектов. Основной объект графов Теория граф и его обобщения. Первые задачи графов Теория были связаны с решением математических развлекательных задач и головоломок (задача о

функции, заданные на множестве графов и принимающие значения из некоторого множества чисел. Ниже приведен ряд графов Числовые Характеристики и их наиболее употребительные обозначения. Наиболее простыми графов Числовые Характеристики являются число вершин и число ребер (дуг) графа G.…

бихроматический граф, граф, множество вершин которого можно разбить на два непересекающихся подмножества и , (т

граф, каждому ребру которого приписана ориентация. Граф ориентированный G задается множеством вершин V и набором Еупорядоченных пар вершин, называется дугами Говорят, что дуга исходит из вершины и входит в вершину . Число дуг, исходящих из , называется полустепенью исхода…

планарный граф, граф, допускающий правильную укладку на плоскости (см. Графа укладка). Иными словами, граф G называется плоским, если он может быть изображен на плоскости так, что вершинам соответствуют различные точки плоскости, а линии,…

вероятностная модель, предназначенная для изучения частотных характеристик различных параметров графов. Под граф случайный обычно понимается некоторый класс графов на котором задано распределение вероятностей. Произвольный конкретный граф G из называется реализацией

граф, на котором та или иная числовая характеристика принимает свое минимальное или максимальное значение. Обычно отыскиваются экстремальные значения некоторой одной числовой характеристики при ограничениях на другие числовые характеристики и…

приближенного интегрирования для функции формула, имеющая вид: Грегори формулы получается при интегрировании интерполяционного многочлена с узлами в точках Если в Грегори формуле взяты разности до порядка n включительно, то она может быть получена из формулы Ньютона

теорема в теории конформных отображений, предложенная в 1928 X. Грётшем [1] и используемая при доказательстве неравенств для длин кривых некоторых семейств и площади занимаемой ими области; им же в дальнейшем были разработаны многочисленные…

различные результаты о конформных и квазиконформных отображениях X. Грётша (см. [1]). На основе разработанного им полос метода, представляющего первую общую форму метода конформных модулей (см. Экстремальной метрики, метод),X. Грётш…

ортогональные траектории семейства поверхностей уровня где есть Грина функция (задачи Дирихле для уравнения Лапласа) для области D евклидова пространства , , с фиксированным полюсом . Иными словами, грина Линии это интегральные кривые поля градиента .…

на полугруппе бинарные отношения заданные следующим образом: означает, что хи у порождают совпадающие левые главные идеалы; и имеют аналогичный смысл с заменой левые на правые и двусторонние соответственно; (объединение в решетке отношений…

топологическое пространство X, на котором определены гармонический и супергармонич. функции и существует Грина функция (для Д u рихле задачи в классе гармонических функций), или, что равносильно, существует отличная от константы положительная супергармонич.…

формулы интегрального исчисления функций многих переменных, связывающие значения га кратного интеграла по области D n мерного евклидова пространства и кратного интеграла по кусочно гладкой границе этой области. Грина формула получаются интегрированием по

функция, связанная с интегральным представлением решений краевых задач для дифференциальных уравнений. Грина функция краевой задачи для линейного дифференциального уравнения фундаментальное решение уравнения, удовлетворяющее однородным краевым условиям.…

один из методов суммирования числовых и функциональных рядов, определяется заданием двух функций и , удовлетворяющих определенным условиям. Ряд суммируется методом Гронуолла к сумме s, если где определяются из разложения Метод был введен Т.…

аддитивной категории абелева группа, сопоставляемая аддитивной категории универсальным аддитивным отображением. Точнее, пусть С малая аддитивная категория и G абелева группа. Отображение называется аддитивным, если для любой точной последовательности…

абелева категория, обладающая семейством образующих и удовлетворяющая аксиоме: в категории существуют копроизведения (суммы) любых семейств объектов и для каждого направленного по возрастанию семейства подобъектов и произвольного объекта Аи…

функтор вложения (см. Вложение категорий).из категории Св категорию контравариантных функторов, определенных на С и принимающих значения в категории множеств (Ens). Пусть X объект [U категории С(где U фиксированное универсальное множество);…

структурно устойчивая (динамическая) система, гладкая динамическая система, обладающая свойством: для любого найдется такое , что при любом ее возмущении, отстоящем от нее в С 1 метрике не более чем на б, существует гомеоморфизм фазового…

алгебры с одной тернарной операцией, удовлетворяющей некоторым тождествам. Груды (г.) определяются тождествами: а полугруды (п.) тождествами: Всякая груда является полугрудой. Если в множестве Ф (А, В).всех взаимно однозначных отображений множества

один из основных типов алгебраических систем. Теория Г. изучает в самой общей форме свойства алгебраических операций, наиболее часто встречающихся в математике и ее приложениях (примеры таких операций умножение чисел, сложение векторов,…

группа, не имеющая элементов конечного порядка. Свободная, свободная разрешимая, свободная нильпотентная и свободная абе лева группы суть Г. б. к. Прямое, полное прямое и свободное произведения Г. б. к. суть Г. б. к. Факторгруппа Г. б. к. G по ее…

группа, элементы или подгруппы которой удовлетворяют тому или иному условию конечности. Под условием конечности в теории групп понимается любое такое свойство, присущее всем конечным группам, что существуют бесконечные группы, которые им не обладают

R группа группа, у которой из равенства следует , где х, у любые элементы группы, п — любое натуральное число. Группа G тогда и только тогда является R группой, когда она без кручения и такова, что нз следует для любых п натурального числа п. R группа

группы G над полем K ассоциативная алгебра над полем К, элементами которой являются всевозможные формальные конечные суммы вида а операции определяются формулами: (в правой части второй формулы сумма также конечна). Эта алгебра обозначается…

величина, характеризующая скорость распространения волнового процесса в диспергирующих средах. Пусть волновой процесс описывается волновым уравнением с переменным коэффициентом Ищутся решения, удовлетворяющие условиям и имеющие вид Функция должна

схема групп, обобщение понятия алгебраической группы. Пусть категория схем над базисной схемой ; групповой объект этой категории называется групповой схемой над схемой (а также групповой схемой, или S c хемой групп). Для групповая схема G над S функтор точек является…

ассоциативное исчисление, в котором эффективным образом выполнено естественное групповое требование существования обратной операции. Именно, ассоциативное исчисление называется Групповое исчисление (см. [1], с. 341), если для него может быть построен инвертирующий…

категории объект X категории Стакой, что для любого множество морфизмов является группой, а соответствие функтором из категории Св категорию групп (Gr). Гомоморфизмом групповой Объект X в групповой Объект У называется такой морфизм категории С, что для любого соответствующее

универсальная алгебра с одной бинарной операцией. Г. самый широкий класс таких алгебр; группы, полугруппы, квазигруппы все это Г. специального вида. Важным понятием для Г. является понятие изотоп и и операций. Пусть на множестве G определены две…

категория Gr, объектами которой являются всевозможные группы, а морфизмами все гомоморфизмы групп. Иногда предполагают, что все рассматриваемые группы принадлежат фиксированному универсальному множеству. Группы категория является локально малой биполной…

класс всех групп, удовлетворяющих фиксированной системе тождественных соотношений где v пробегает некоторое множество V групповых слов, то есть элементов свободной группы X со свободными образующими x1,..., xn ... . Как и всякое алгебраических систем…

закон, устанавливающий в известных пределах зависимость между напряженным состоянием и деформацией упругого тела. Гук закон заключается в том, что малая деформация пропорциональна приложенным к телу силам, то есть тензор деформации является линейной…

если последовательность голоморфных функций в области , равномерно сходящаяся внутри D к функции , то для любой замкнутой спрямляемой жордановой кривой Г, лежащей в D вместе с областью, ограниченной Г, и не проходящей через нули функции f(z), можно

решение гиперболического уравнения и системы 2 го порядка с двумя независимыми переменными по заданным его значениям на двух характеристич. кривых, выходящих из одной точки. Для гиперболического уравнения заданного, например, в области гурса Задача ставится…

конгруэнция прямых, у которой первый точечный инвариант фокальной сети одной фокальной поверхности равен второму точечному инварианту другой фокальной поверхности . Пусть , преобразования Лапласа (см. Лапласа преобразование в геометрии) фокальных…

утверждение, в силу которого при распространении колебаний, описываемом волновым уравнением в пространстве нечетного числа измерений, резко локализованное начальное состояние наблюдается позднее в другой точке, как явление, столь же резко…